FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO 0/0

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO

Antecedentes históricos

 Antecedentes históricos

El Cálculo Infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que hayas estudiado con anterioridad. Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, etc., aquí se tiene una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico. El cálculo se interesa en el cambio y en el movimiento; trata de cantidades que se aproximan a otras cantidades.

El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.

En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momentum” de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la “razón del momentum” al tiempo correspondiente es decir, la velocidad. Por lo tanto, fluente es la cantidad variable que se identifica como función; fluxión es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la derivada; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se llama momento que se identifica como la diferencial. El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”.

Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el Cálculo Diferencial, sobresaliendo entre otros, los siguientes:

Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz en la invención del Cálculo Diferencial. Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación, ya que existía gran rivalidad entre franceses, alemanes e ingleses, razón por la que las demostraciones de Fermat se hayan perdido. Hizo además aportaciones a la geometría analítica, la teoría de números y la probabilidad.

Nicolás Oresme, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableció que: en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.

Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje donde la pendiente de la tangente es nula. x

Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677), maestro de Newton, construyó el “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema del Valor Medio. Se dice que Napoleón dijo de él un día: “Lagrange es la altiva pirámide de las ciencias matemáticas”.

Augustin-LouisCauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857), matemático francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones de “función de función” y la de “función compuesta” se deben a él. El concepto de función continua fue introducido por primera vez por él en 1821.

Leonhard Euler (1707-1783). La simbología se debe a él, quien además de hacer importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo.  xf

John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703), enuncia el concepto de “límite”.

La representación simbólica “lím” se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).

El símbolo “tiende a” lo propuso J. G. Leathem.

Karl Weierstrass, matemático alemán, se encargó de dar formalidad y estructura a la noción intuitiva de límite.

Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) fue quien dio la primera definición moderna de función. Al principio del desarrollo del cálculo, la definición de función era mucho más restringida que en la actualidad, y no se habían considerado funciones como la de Dirichlet.

Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el Cálculo Diferencial.

Niels Henrik Abel (1802.1829) y Evariste Galois (1811-1832). Aunque sus vidas fueron breves, sus trabajos en los campos del análisis y del álgebra abstracta fueron de gran alcance.

El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como una herramienta técnico – científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina para medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.

HISTORIA Y EL NACIMIENTO DEL CÁLCULO.

HISTORIA Y EL NACIMIENTO DEL CÁLCULO.

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.

 El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan

 constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, o más bien dicho, coinventores, pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin.

 Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII.

El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

♣ Encontrar la tangente a una curva en un punto.

♣ Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.

♣ Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

♣ Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas, mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad, mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus

aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas.

El siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Gauss desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).

Siglo XX y nuestros días

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

Historia del cálculo

Historia del cálculo

Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos.

Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

 Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad.

Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de

(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área. Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:

Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.

Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m.

Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rp para r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Triángulo de Barrow

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow. Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo. El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli.

Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería

publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo.